賃貸アパートのフローリングの傷

焦る気持ち、すごくわかります。ただ、傷の程度によっては自分で目立たなくすることができるので、まず試してみる価値はあると思います。
フローリング補修用のクレヨンやマーカーがホームセンターや100均にあって、床の色に合わせて塗り込むと傷がかなり目立たなくなります。複数色を混ぜて近い色を作れるセットのものが使いやすいです。深い傷には「フローリング補修材（パテ）」を使うとより自然に仕上がります。
ただ、あまり深い傷だと完全には消せないし、退去時に「自分で手を加えた」ことが判明するとかえってこじれることもあるので、賃貸の場合は管理会社に先に相談してしまうのも一つの手だと思います。故意じゃないことを正直に伝えると、意外と穏便に対応してもらえるかもしれません。